הפיזיקה של הסביבונים

הסביבון כחידה

אם ננסה לייצב סביבון על חודו על פני משטח אופקי, מבלי לסובב אותו, הוא ייפול מייד. הסיבה לכך היא כמובן שטח המגע המזערי עם הקרקע של חוד הסביבון , שאינו יכול לשמש לו כבסיס יציב . מספיקה נטייה קלה ביותר של ציר הסימטריה של הסביבון לצד זה או אחר, כדי שכוח הכבידה יפעיל עליו מומנט שיפיל אותו על הקרקע. אבל אם נקדים ונסובב הסביבון סביב צירו, באורח פלא, לא יהיה לו כל קושי לשמור על יציבותו, למרות ששטח המגע עם שלו המשטח נשאר כשהיה. מה יש בתנועה הסיבובית של הסביבון שעוזר לו לנטרל, ולו לזמן מה, את השפעת מומנט הכבידה? מדובר בגורם פיזיקלי שנקרא תנע זוויתי, שממיר את תנועת הנפילה של הסביבון לתנועה חלופית שנקראת נקיפה. זוהי תנועה לא אינטואיטיבית שבה ציר הסיבוב של הסביבון נע בעצמו סביב ציר המאונך למשטח, כשהוא עוקב אחרי משטח קוני שנקודת המגע של הסביבון במשטח היא קודקודו.

בתנועת הסביבון מעורבים שלושה גורמים פיזיקליים. ניתן לתאר תנועה זו כ"התגוששות" בין שניים מהם – מומנט הכבידה והתנע הזוויתי, ובמעורבות גורם שלישי, כוח החיכוך, שפועל "לטובת" הגורם הראשון.

מומנט הכבידה ופעולתו

נתבונן תחילה בסביבון שאינו מסתובב. בתרשים למטה מתואר סביבון בשלושה מצבים. המצב הראשון (מימין) הוא מצב תאורטי שבו סביבון א' מונח על משטח אופקי כשמרכז הכובד שלו (מסומן ב-.C.G) נמצא בדיוק מעל לנקודת המגע של חוד הסביבון עם המשטח. במצב כזה, (אם היה אפשרי במציאות) הסביבון היה נמצא במצב של שווי משקל רופף. במצב השני (במרכז) הסביבון נוטה מעט על צידו. קו הפעולה של כוח הכבידה העובר דרך מרכז הכובד פוגע במשטח במרחק קטן, l, מנקודת המגע של הסביבון במשטח. במצב זה נוצר על הסביבון מומנט שגודלו שווה למכפלת כוח הכבידה F במרחק l. על פי החוק השני של ניוטון, גוף שמופעל עליו מומנט מתחיל לפתח תאוצה זוויתית בכוון המומנט. במקרה של הסביבון המתואר בתרשים תנועה זו תגרום לסביבון להסתובב ימינה, בכוון השעון, לעבר המשטח. המצב השלישי (משמאל) הוא מצב דומה לקודם אלא שזווית ההטיה של הסביבון גדולה יותר, המרחק l גדול יותר, ולכן גם המומנט וגם התאוצה הזוויתית גדולים יותר. יוצא איפה, שתנועת הנפילה של הסביבון היא תנועה שמחריפה מרגע לרגע כל עוד אין גורם שמרסן אותה. ניתן לסכם ולומר: ברגע שציר הסימטריה של סביבון נייח סוטה, ולו במעט, לצד זה או אחר, נוצר מומנט כבידה ש"שואף" להפיל את הסביבון על המשטח. באין גורם פיזיקלי שיתנגד למומנט זה הסביבון אכן יפול.

התנע הזוויתי ופעולתו

כל גוף שנע לאורך קו ישר יש תנע קווי השוה בגודלו למכפלת מסת הגוף במהירותו. לסביבון שמסתובב על צירו, כמו לכל גוף שמסתובב סביב ציר כלשהו, יש תנע זוויתי השווה בגודלו למכפלת מומנט האינרציה של הגוף במהירות הזוויתית שלו: התנע הזוויתי (כמו גם התנע הקווי) הוא גודל וקטורי, כלומר יש לו גם גודל וגם כיוון. כיוון התנע הזוויתי הוא ככיוון הציר שסביבו מסתובב הגוף. מכיוון שלאורך ציר הסיבוב יכולים להתקיים שני כיוונים מנוגדים, משתמשים בכלל יד ימין כדי לקבוע מי מהם הוא הכיוון הרלוונטי. אחד מחוקי השימור היסודיים בפיזיקה אומר, שבמערכת סגורה, גודלו של התנע הזוויתי נשמר קבוע. משמעות חוק זה היא שאם לא פועל מומנט חיצוני על גוף, מכפלת המהירות הזוויתית שלו במומנט האינרציה שלו ביחס לציר הסיבוב נשארת קבועה. בשפה מיורית, משמעות הדבר היא שכל גורם פיזיקלי שיפעל על הגוף באופן ש"יבקש" לשנות את גודל התנע הזוויתי שלו, או את כיוונו, ייתקל ב"התנגדות" של הגוף ש"יבקש" להתמיד במצבו. חשוב להדגיש שככל שהתנע הזוויתי גדול יותר – כלומר, ככל שמומנט האינרציה ו/או המהירות הזוויתית גדולים יותר – כך קשה יותר יהיה לגורם חיצוני לשנותו.

תיאור מהלך ״ההתגוששות״

כאשר הסביבון מסתובב ללא השפעה של גורם חיצוני, התנע הזוויתי הכולל שנגרם לו על ידי הסיבוב סביב ציר הסימטריה שלו פועל בכיוון הציר. אם ציר הסביבון נוטה מעט, נוצר מומנט כבידה שמקנה לו תנע זוויתי נוסף בכוון אחר, "שמבקש" להפיל אותו לכיוון המשטח. התנע הזוויתי הכולל שפועל עכשיו על הסביבון הוא שקול וקטורי של שני רכיבי התנע הזוויתי – הרכיב המקורי שפועל בכוון ציר הסימטריה (מסומן בכחול בתרשים למטה) והרכיב שנוצר על ידי מומנט הכבידה (מסומן בסגול בתרשים). התנע הזוויתי השקול (מסומן באדום בתרשים) משנה את כוון הנפילה הרגעי של הסביבון. במקום לכוון המסומן בקו ירוק בתרשים, לכוון מאונך לקו זה (מסומן בוורוד). כתוצאה מכך ציר הסימטריה משנה את האוריינטציה שלו בתנועה שעוקבת אחרי חרוט דמיוני שקדקודו הוא נקודת המגע של הסביבון במשטח. וזוהי תנועת הנקיפה האפיינית לכל הסביבונים.

סרטון הדגמה של תנועת נקיפה קרדיט: Eugene Khutoryansky

כוח החיכוך - הגורם השלישי

הבתנאים אידאליים ה"מרדף" שתואר לעיל זה יכול להימשך לנצח, אלא שבמציאות קיים גורם נוסף: כוח החיכוך. החיכוך של הסביבון עם המשטח ועם האוויר שמסביבו גורם להפיכת חלק מהאנרגיה הקינטית שלו לחום, ובכך להקטנת מהירות הסיבוב שלו, וכתוצאה מכך, להקטנת התנע הזוויתי שלו. ככל שרכיב התנע הזוויתי שנגרם על ידי מהירות הסיבוב קטן, כך היכולת של הסביבון "להתחמק" ממומנט הכבידה נחלשת. ציר הסימטריה שלו נוטה יותר ויותר לעבר המשטח, עד שלבסוף הוא פוגע בו. כך מומנט הכבידה וכוח החיכוך מכריעים בסופו של דבר את הסביבון, וגורמים לו להפלתו.